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简单周期信号与傅里叶级数

作者: dluopunk

简介: 傅里叶级数简介

最后修改: 2025-04-08 09:20:19.253230

文章状态: 已发布

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技术 数学 编程
Py t h o n 与声音制造 第一部分 : 声音与数学 Topic2 : 认识 傅里叶级数 如果你读过了上一篇推送，是否思考了其中的两个问题。这里再复述其中的一个 ： 如果两件不同的乐器演奏同一个音符，在力度和时间都相同的情况下，为什么还是可以听 出它们的不同 ? 这里的相同和不同到底有着怎样的联系。首先可以明确的是如果两个事物既 有共同的性 质，又有差别，则这两个事物一定是由更加基本的事物构成 。所以要了解这些事物，就 必 须将它进一步分解，找到构成这些事物的最基本元素。   如果不考虑音高，音量，那么决定 对声音 直观感受的因素 就是 音色 (Timbr e or to n e ) ，它具 体表现在波 形上。如果把讨论的内容局限在具有周期性的声音信号范围里，那么 只需要仔 细分析任意一个周期内的信号即可。 还是接着上回的内容，对于任何周期函数， 有 f t = cos  + sin (  ) 公式 1 那就考虑最简单的情况，即 k = 0 的情况 ，有 f t = a cos 0 + sin 0 = 也就是这时的信号图象为 定义域范围内的 常值函数 ，这个在信号处理中也称作信号的直流 部分。 如果 k =1 , 则有 f t = a + cos  + sin ( ω t )
Fi g u r e   1 : f ( t) = 1 + s in ( t) + c o s ( t)   的图像   如果 k =2 : f t = a + cos  + sin ω t + a cos 2  + sin ( 2  ) Fi gur e 2 ：两个信号只相差了直流部分 随着构成声音信号的正弦波越来越多，从直观上就越难以将它分解，所以必须要有一种数 学工具可以将这个分解过程以公式的形式 表现出来。这样就可以设计相应的程序对这种经 过合成的 信号进行分析。 首先回忆欧拉公式 : e  = cos + sin ( ) 将 x 替换为 - x e  = cos − sin ( ) 所以两式相加，减可以得到 cos x = e  +  2 sin x = e  −  2 将上述两个公式带入 公式 1 ，
f t = a + cos 2  + sin 2  这里 将之前的 k =n , ω = 2π f , 且有 a = sin , b = cos ( ) , A 为对应频率正弦波 的振幅， φ 为对应频率正弦波的初相位 。 这样可以得到 f t = a + e  +  2 + e  −  2 f t = a + e  +  2 + − i e  +  2 f t = a + e  +  2 + − ie  +  2 f t = a + −   2 + +   2 令 = = 1 2 − , ≥ 1 = 1 2 + , ≥ 1 将 公式简化至 : f t = c +   +   将上列第三项中的 n 从 - 1 变化至 − ∞ , 则上式可进一步简化为 : f t =   可以看到在从信号的三 角 函数 组 合变换到复 指 数函数 组 合的过程中 出现 负 频率，这在之 后 的程序 运 行 结 果中也 会 出现。不必对这个现象过度 疑 虑，这只 是因为 引 入了复数表 示 之 后 的 结 果。 我 们就 管 这样由复 指 数函数，其频率 按整 数 倍递增 的 组 合 叫做 复数形式的 傅里叶级数，复 数 c 为级数中 各 项的系数， 包含原 信号中 各 个频率正弦信号的振幅与初 始 相位信 息 。 为什 么要 费 这么 大劲 将三 角 函数 组 合 转 换成复 指 数形式 呢？ 一个 重 要因素是，在 微 分与 积 分 运 算 中， 指 数 函数 可 能 函数是最受 欢迎 的。 因为 : d e  = ,  = + 又 根据微 分学 法 则中的 链 式 法 则 : f x = g′ ( φ ) φ ′ ( x ) 或使用莱布尼茨 表 示法 :
df dx =     具体到 我 们的问题，有   = 1  + 下 边 就是如何从一个 信号中确定系数 C 的过程 。 设周期函数 f ( t) 的周期为 T ，所以在定义域 t 上 截取 有限 区 间 [ t , + ] 。 我 们 假 设 f ( t) 可 以 展开 成 f t =   在两 边 同 乘 以   , 其中 m 为 整 数 ， 并 在 区 间 [ t , + ] 上进行 积 分 .    =   =   上 面 这个式 子等 号的最 右边 即是对于 展开 之 后 的 每 一项进行 积 分，且 c 为常数，所以可以 将 求 和符号以 及 c 提 到 积 分符号 外侧 。 经过观 察 ，可以 发 现 当 n =m 时， 积 分项  = e = 1 . 这时 在有限 区 间内的 积 分的 值就是 t + − ∗ 1 = T 。 而当 m ≠ n 时，由于三 角 函数的正 交 性，其值为 0 。 关 于三 角 函数的正 交 性，有以下 说 明。 对于任意不为 零 的 整 数 n ，有 cos   = sin  n − sin −  = 0 sin   = − cos  + cos −  = 0 cos   = 1 2 + cos 2  2  = sin (  )  = 1 2 − cos 2  2  = 再 次利用 三 角 函数的 积 化和差公式 cos a cos b = cos a + b + cos a − b 2 sin sin = cos − − cos + 2 sin cos = sin + + sin − 2 所以得到 cos nx cos mx = 1 2 cos + x + cos n − m  = 0 sin  sin   = 1 2 cos − − cos +  = 0 sin  cos (  )  = 1 2 sin + + sin −  = 0
若 两个函数 满足条 件 ：  = 0 它们的 关 系为正 交关 系 。 这种 关 系可以由 二维空 间的 x, y 轴拓展 至 无穷维 度。在傅里叶级 数中不同频率的正弦函数就可以看成是 构成这个 信号 空 间的基 向 量， 彼此 为正 交关 系 。在 这个 空 间中对一个经过合成 的 信号进行分析，就像在三 维空 间中分解一个 向 量一样， 通 过 数量 积运算 将 空 间 向 量 投影 到 每 一个基 向 量的 方向 上。因 此通 过上述 运算 ， 我 们就可以 达 到分析声音的 目 的， 获取 的信 息叫做 声音 信号 的频 谱 . 所以在 运算    =   时， 等 号 右边 只有 当 n =m 时的那一项， 剩 下 c , 所以 c = 1    , m = 0 , m = ± 1 , ± 2 … 以下以一个具体的 例子说 明这个现象 : 设在 区 间上 [ - 0 .1 , 0. 1 ] 有一个 周期为 0. 2 秒 的 方 波 , 其频率为 5 Hz f t = 0 , − 0 . 1 ≤ < − 0 . 05 1 , − 0 . 05 ≤ x ≤ 0 . 05 0 , 0 . 05 < ≤ 0 . 1 其图像为 引用 公式 c = 1 0 . 2   . . = 5   .  .  当 n =0 时，有 c = 5 ∗ 0 . 1 = 0 . 5 . 当 n ≠ 0 时 , 得到 c = 1 − 0 . 2 ∗ 2 ∗ ∗ ∗ 5 ∗  ∗ ∗ .  −  ∗ ∗ .  c = 1 − 2  ∗  −  = sin  2  由 此 就可以 重 构这个 原始 信号 :
f t = c +   +   下 面使用 p y th o n 将这一过程 重 现，看看 我 们的计 算结 果是否 能够重 构这个 方 波 . 以上 结 果是 当 n 等 于 [ - 100,100] 时的计 算结 果，可以看到经过计 算 傅里叶级数的系数， 我 们是可以 很好 的 重塑 一个 方 波信号 。 当然 ，程序 模拟 的过程 势 必带来一些 误 差，这是因为 计 算机 只 能 进行 离散 有限 运算 。
同时，以上的计 算 过程也回 答 了 开始 问题，为什么演奏同一个音符的乐器听 起 来不同，这 就是因为， 尽管 这两个声音具有相同的基频 和 谐 波 ， 但 是 每 个频率 具有的傅里叶系数不 同， 导致 了波 形的不同 ， 所以 我 们就可以听出它们的不一样。 本 次 推送 介绍 了如何分析 周期信号的基本 方法 ，在下 次 推送中 我 们将正式 开启用 计 算机 制 造声音的 旅 程， 希望大家 不要 被眼 前的 数学公式 吓 到，因为 真 正有 趣 的事情 肯 定不是一下 就可以 掌握 的，这就是所 谓 的 痛并快 乐着的学 习态 度。 本 次 推送的内容 编排主 要来 自 以下 著 作 : 1.   T ol s t ov, G e orgi ,  (1976),  F our i e r  Se r i e s ,  D ove r    2.   程 乾生 , (2003),  数 字 信号处理 ,  北京大 学出 版社   3.   杨 学 志 , (2016),  通 信之 道 : 从 微积 分到 5G ， 电子 工 业 出 版社  
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